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考研
求正交矩阵Q,将实对称矩阵化为对角矩阵。
求正交矩阵Q,将实对称矩阵化为对角矩阵。
admin
2021-11-12
13
问题
求正交矩阵Q,将实对称矩阵
化为对角矩阵。
选项
答案
解一 因A的特征多项式为 |λE-A|=(λ-2)
2
(λ-8), 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=8。 现分别求出属于它们的线性无关的特征向量。 当λ
1
=λ
2
=2时,解(2E-A)X=0。由 [*] ① 得到属于λ
1
=λ
2
=2的线性无关的特征向量为 α
1
=[-1,1,0]
T
, α
2
=[-1,0,1]
T
。 用施密特方法将α
1
与α
2
正交化,为此令β
1
=α
1
=[-1,1,0]
T
,则 [*] 于是β
1
,β
2
为相互正交的特征向量。 当λ
3
=8时,解(8E-A)X=0。因 [*] 由基础解系的简便求法知,属于λ=8的特征向量为 α
3
=[1,1,1]
T
。 将β
1
,β
2
,α
3
单位化分别得到 [*] 则所求的正交矩阵 [*]。 解二 因A有二重特征值λ
1
=λ
2
=2,可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵。 已知α
1
=[-1,1,0]
T
为属于λ
1
=2的一个特征向量,设属于λ
1
=2的另一特征向量为[x
1
,x
2
,x
3
]
T
=X,下求X使之与α
1
正交。 因X为λ
1
=2的另一特征向量,故必满足系数矩阵为①的方程,即 [*], 故 x
1
+x
2
+x
3
=0。 ② 又X与α
1
正交,有X
T
α
1
=0,即 -x
1
+x
2
=0。 ③ 联立式②、式③得到 [*], 故X=[-1/2,-1/2,1]
T
, 则α
1
,X,α
3
为两两正交的向量组,将其单位化得到 [*] 于是所求的正交矩阵为 [*]。
解析
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考研数学一
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