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  3. 求正交矩阵Q，将实对称矩阵化为对角矩阵。

求正交矩阵Q，将实对称矩阵化为对角矩阵。

admin2021-11-12  11
问题 求正交矩阵Q，将实对称矩阵化为对角矩阵。
选项
答案解一 因A的特征多项式为 ｜λE－A｜＝(λ－2)2(λ－8)， 故A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝8。 现分别求出属于它们的线性无关的特征向量。 当λ1＝λ2＝2时，解(2E－A)X＝0。由 [*] ① 得到属于λ1＝λ2＝2的线性无关的特征向量为 α1＝[－1，1，0]T， α2＝[－1，0，1]T。 用施密特方法将α1与α2正交化，为此令β1＝α1＝[－1，1，0]T，则 [*] 于是β1，β2为相互正交的特征向量。 当λ3＝8时，解(8E－A)X＝0。因 [*] 由基础解系的简便求法知，属于λ＝8的特征向量为 α3＝[1，1，1]T。 将β1，β2，α3单位化分别得到 [*] 则所求的正交矩阵 [*]。 解二 因A有二重特征值λ1＝λ2＝2，可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵。 已知α1＝[－1，1，0]T为属于λ1＝2的一个特征向量，设属于λ1＝2的另一特征向量为[x1，x2，x3]T＝X，下求X使之与α1正交。 因X为λ1＝2的另一特征向量，故必满足系数矩阵为①的方程，即 [*]， 故 x1＋x2＋x3＝0。 ② 又X与α1正交，有XTα1＝0，即 －x1＋x2＝0。 ③ 联立式②、式③得到 [*]， 故X＝[－1／2，－1／2，1]T， 则α1，X，α3为两两正交的向量组，将其单位化得到 [*] 于是所求的正交矩阵为 [*]。
解析
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考研数学一

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