设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=f(t)dt=f(2)+f(3).证明: ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.

admin2016-09-12  34

问题 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,且2f(0)=f(t)dt=f(2)+f(3).证明:
ξ1,ξ2∈(0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.

选项

答案令F(x)=[*]f(t)dt,F’(x)=f(x),[*]f(t)dt=F(2)-F(0)=F’(c)(2-0)=2f(c),其中0<c<2. 因为f(x)在[2,3]上连续,所以f(x)在[2,3]上取到最小值m和最大值M,m≤[*]≤M, 由介值定理,存在x0∈[2,3],使得f(x0)=[*],即f(2)+f(3)=2f(x0), 于是f(0)=f(c)=f(x0), 由罗尔定理,存在ξ1∈(0,c)[*](0,3),ξ2∈(c,x0)[*](0,3),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.

解析
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