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设A,B均是n阶方阵,已知A-E可逆,|B|=1,且(A-E)-1=B*-E,其中B*为B的伴随矩阵.则A-1=________.
设A,B均是n阶方阵,已知A-E可逆,|B|=1,且(A-E)-1=B*-E,其中B*为B的伴随矩阵.则A-1=________.
admin
2022-04-27
47
问题
设A,B均是n阶方阵,已知A-E可逆,|B|=1,且(A-E)
-1
=B
*
-E,其中B
*
为B的伴随矩阵.则A
-1
=________.
选项
答案
E-B.
解析
由(A-E)
-1
=B
*
-E,知B
*
-E可逆,故
(A-E)(B
*
-E)=E,
即AB
*
-A-B
*
=Ο,于是
AB
*
-A=B
*
①
由|B|=1,知B可逆.式①两边同时右乘B,得
A(B
*
-E)B=B
*
B=|B|E=E.
故
A
-1
=(B
*
-E)B=B
*
B-B=|B|E-B=E-B.
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考研数学三
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