设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)-1=B-E，其中B为B的伴随矩阵．则A-1=________．

admin2022-04-27 67

问题设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)^-1=B^*-E，其中B^*为B的伴随矩阵．则A^-1=________．

选项

答案E-B．

解析由(A-E)^-1=B^*-E，知B^*-E可逆，故
(A-E)(B^*-E)=E，
即AB^*-A-B^*=Ο，于是
AB^*-A=B^* ①
由｜B｜=1，知B可逆．式①两边同时右乘B，得
A(B^*-E)B=B^*B=｜B｜E=E．
故
A^-1=(B^*-E)B=B^*B-B=｜B｜E-B=E-B．

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