2. 考研
  3. 设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)-1=B*-E，其中B*为B的伴随矩阵．则A-1=________．

设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)-1=B*-E，其中B*为B的伴随矩阵．则A-1=________．

admin2022-04-27  54
问题 设A，B均是n阶方阵，已知A-E可逆，｜B｜=1，且(A-E)-1=B*-E，其中B*为B的伴随矩阵．则A-1=________．
选项
答案E-B．
解析 由(A-E)-1=B*-E，知B*-E可逆，故
(A-E)(B*-E)=E，
即AB*-A-B*=Ο，于是
AB*-A=B*    ①
由｜B｜=1，知B可逆．式①两边同时右乘B，得
A(B*-E)B=B*B=｜B｜E=E．
故
A-1=(B*-E)B=B*B-B=｜B｜E-B=E-B．
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考研数学三

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