2. 考研
  3. 设随机变量X的密度函数为f（x），方差DX=4，而随机变量y的密度函数为2f（—2y），且X与Y的相关系数ρXY=，记Z=X+2Y． （Ⅰ）求EZ，DZ； （Ⅱ）用切比雪夫不等式估计概率P{|Z|≥4}．

设随机变量X的密度函数为f（x），方差DX=4，而随机变量y的密度函数为2f（—2y），且X与Y的相关系数ρXY=，记Z=X+2Y． （Ⅰ）求EZ，DZ； （Ⅱ）用切比雪夫不等式估计概率P{|Z|≥4}．

admin2019-08-11  28
问题 设随机变量X的密度函数为f（x），方差DX=4，而随机变量y的密度函数为2f（—2y），且X与Y的相关系数ρXY=，记Z=X+2Y．
（Ⅰ）求EZ，DZ；
（Ⅱ）用切比雪夫不等式估计概率P{|Z|≥4}．
选项
答案(Ⅰ)EZ = E(X+2Y)=EX+2EY =∫—∞+∞xf(x)dx+2∫—∞+∞y．2f(—2y)dy =∫—∞+∞xf（x）dx+∫—∞+∞（一2y）f(一2y)d（一2y） [*]∫—∞+∞xf（x）dx+tf(t)dt=0， 由此可知，EZ=0，EY=[*]EX．又DY=EY2一(EY)2，而 EY2=∫—∞+∞y2．2f(一2y)dy=[*]∫—∞+∞（一2y）2f(一2y）d（一2y） [*] 所以 DY=EY2一(EY)2=[*] DZ = D(X+2Y) = DX+4DY+4cov(X，Y) = DX+4DY+[*] (Ⅱ)由切比雪夫不等式 P{|Z|≥4} = P{|Z—EZ|≥4}≤[*]
解析
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考研数学三

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