已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2017-08-18 71

问题已知y₁^*＝xe^x＋e^2x，y₂^*＝xe^x＋e^—x，y₃^*＝xe^x＋e^2x—e^—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*—y₃^*＝e^—x，y₂^*—y₃^*＝2e^—x—e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^—x，y₂＝2(y₁^*—y₃^*)一(y₂^*—y₃^*)＝e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*—y₂＝xe^x 因此该非齐次方程的通解是 y＝C₁e^—x＋C₂e^2x＋xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ₁＝一1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ一2)＝0，即 λ²一λ一2＝0．因此方程为 y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y₄^*＝xe^x代入得 (x＋2)e^x—(x＋1)e^x—2xe^x＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)e^x 因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)e^x

解析

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考研数学一

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已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0所确定，其中f，g，h对各变量有连续的偏导数，且求

设其中f(u，v)是连续函数，则dz=___________．

已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且Aα1=3α1+3α2—2α3，Aα2=一α2Aα3=8α1+6α2—5α3．求秩r(A+E)．

设f(x，y)，φ(x，y)均有连续偏导数，点M0(x0，y0)是函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，又φ’(x0，y0)≠0，求证：曲面z=f(x，y)与柱面φ(x，y)=0的交线F在点P0(z0，y0,z0)(z0=f(x0，y0

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为α，设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；

设u=f(xy，x2，x)，其中函数厂有二阶连续偏导数，试求：u’’xy

将函数展开成x一2的幂级数，并求出其收敛范围

微分方程满足初始条件的特解是____________.

设有通解k[1，0，2，一1]T，其中k是任意常数，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是()

幂级数的和函数为__________．

性激素属于

一般地表水处理厂采用的常规处理流程为()。

在全国银行间债券市场进行买断式回购，交易双方可以协商确定（　　　　）。

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关于臀中肌、臀小肌注射说法正确的是()。

股份制是现代企业的一种资本组织形式，但“不能笼统地说股份制是公有还是私有”，对这句话的正确理解是()。

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已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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