2. 考研
  3. 已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2017-08-18  42
问题 已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．
选项
答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*—y3*＝e—x，y2*—y3*＝2e—x—e2x． 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1＝e—x，y2＝2(y1*—y3*)一(y2*—y3*)＝e2x， 它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*—y2＝xex 因此该非齐次方程的通解是 y＝C1e—x＋C2e2x＋xex，其中C1，C2为任意常数． 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’＋py’＋qy＝f(x)． 它的相应特征根是λ1＝一1，λ2＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ一2)＝0，即 λ2一λ一2＝0． 因此方程为 y’’一y’一2y＝f(x)． 再将特解y4*＝xex代入得 (x＋2)ex—(x＋1)ex—2xex＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)ex 因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)ex
解析
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考研数学一

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