已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2017-08-18 93

问题已知y₁^*＝xe^x＋e^2x，y₂^*＝xe^x＋e^—x，y₃^*＝xe^x＋e^2x—e^—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*—y₃^*＝e^—x，y₂^*—y₃^*＝2e^—x—e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁＝e^—x，y₂＝2(y₁^*—y₃^*)一(y₂^*—y₃^*)＝e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*＝y₁^*—y₂＝xe^x 因此该非齐次方程的通解是 y＝C₁e^—x＋C₂e^2x＋xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ₁＝一1，λ₂＝2，于是特征方程是 (λ＋1)(λ一2)＝0，即 λ²一λ一2＝0．因此方程为 y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y₄^*＝xe^x代入得 (x＋2)e^x—(x＋1)e^x—2xe^x＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)e^x 因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)e^x

解析

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考研数学一

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已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学一

设x>0时，∫x2f(x)dx=arcsinx+c，F(x)是f(x)的原函数，满足F(1)=0，则F(x)=________________.

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求齐次方程组(i)的解；

设u=f(xy，x2，x)，其中函数厂有二阶连续偏导数，试求：u’’xy

设f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数f’(x)有界，证明：级数绝对收敛；

设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数，则a100=________．

设有通解k[1，0，2，一1]T，其中k是任意常数，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是()

(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解．

设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=γe2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a，β，γ和此方程的通解．

设f(x)可导且在x=0处连续，则a=__________.

根据光的照度定律，物体表面的照度与光源的

收付款凭证需要签章的有()。

在其他条件不变的情况下，一种商品的生产技术水平上升，该商品的供给量会()。

阅读《窦娥冤》教学实录，按要求答题。(教师播放戏剧《窦娥冤》中行刑的片段)师：看完之后，同学们可听清了窦娥的三桩誓愿?生1：血溅白练。生2：六月飞雪。生3：三年干旱。师：大家听得很仔细，可能同时也

下列作品、作家、时代(国别)及体裁对应正确的一项是()。

关于抒情性作品的结构，下列表述正确的一项是()。

经济基础与上层建筑之间的矛盾运动规律是人类社会的一个基本规律。下列不属于上层建筑范畴的是()。

下列关于算盘及珠算知识的说法不正确的是()。

在统计假设检验中，对口和β错误的描述正确的有()

MessageThree(Questions9—12)MotorbikeRentingRegistrationDate:7thAug.Time:12:15No.ofMoto

已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学一

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已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求齐次方程组(i)的解；

设u=f(xy，x2，x)，其中函数厂有二阶连续偏导数，试求：u’’xy

设f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数f’(x)有界，证明：级数绝对收敛；

设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数，则a100=________．

设有通解k[1，0，2，一1]T，其中k是任意常数，A中去掉第i(i=1，2，3，4)列的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是()

(Ⅰ)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；(Ⅱ)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中，写出此方程组的通解．

设二阶常系数微分方程y’’+ay’+βy=γe2x有一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定a，β，γ和此方程的通解．

设f(x)可导且在x=0处连续，则a=__________.

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关于抒情性作品的结构，下列表述正确的一项是()。

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下列关于算盘及珠算知识的说法不正确的是()。

在统计假设检验中，对口和β错误的描述正确的有()

MessageThree(Questions9—12)MotorbikeRentingRegistrationDate:7thAug.Time:12:15No.ofMoto

已知y1＝xex＋e2x，y2＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．