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已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+6)T,β=(1,0,2,6)T,问a,b取何值时,(Ⅰ)β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1,α2,α3,α4线性表
已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+6)T,β=(1,0,2,6)T,问a,b取何值时,(Ⅰ)β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1,α2,α3,α4线性表
admin
2019-05-11
54
问题
已知α
1
=(1,1,0,2)
T
,α
2
=(-1,1,2,4)
T
,α
3
=(2,3,a,7)
T
,α
4
=(-1,5,-3,a+6)
T
,β=(1,0,2,6)
T
,问a,b取何值时,(Ⅰ)β不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示?(Ⅱ)β能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,且表示法唯一;(Ⅲ)β能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,且表示法不唯一,并写出此时表达式.
选项
答案
设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
β
3
+x
4
α
4
=β,对增广矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
:β)作初等行变换,有 [*] (Ⅰ)当a=1,b≠2或a=10,b≠-1时,方程组均无解.所以β不能由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出. (Ⅱ)当a≠1且a≠10时,[*]方程组均有唯一解.所以β能用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示且表示法唯. (Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解,即(1)当a=10,b=-1时,方程组有无穷多解: x
4
=t,x
3
=t+[*],x
2
=[*],x
1
=[*] 即β=[*]α
3
+tα
4
. (2)当a=1,b=2时,方程组有无穷多解:x
4
=[*],x
2
=t,x
3
=1-2t,x
1
=5t-[*],即β=[*]α
1
+tα
2
+(1-2t)α
3
-[*]α
4
.
解析
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考研数学二
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