设有齐次线性方程组试问a为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2018-08-12 32

问题设有齐次线性方程组

试问a为何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

选项

答案对方程组的系数矩阵A施以初等行变换，得[*] ①当a=0时，r(A)=r(B)=1＜n．故方程组有非零解，其同解方程组为x₁+x₂+…+x_n=0，由此得基础解系为[*] 所以方程组的通解为x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-1ξ_n-1(k₁，k₂，…，k_n-1为任意常数)． ②当a≠0时，对矩阵B继续施以初等行变换[*]故当[*]时，r(A)=n一1＜n．方程组也有非零解，其同解方程组为[*] 得基础解系为ξ=(1，2，…，n)^T．此时方程组的通解为x=kξ(k为任意常数)．

解析本题考查齐次线性方程组有非零解的判定条件和求解方法．由于未知数的个数与方程组中方程的个数相同，所以可由Ax=0有非零解

｜A｜=0或r(A)＜n．由此可求得常数．然后再求齐次线性方程组通解．

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考研数学二

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