设f(u，v)具有连续偏导数，且fu(u，v)+fv(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

admin2017-01-14 49

问题设f(u，v)具有连续偏导数，且f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v，求y(x)=e^-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。

选项

答案由y(x)=e^-2xxf(x，x)，有 y’(x)=-2e^-2xf(x，x)+e^-2x[f’₁(x，x)+f’₂(x，x)]，由f_u(u，v)+f_v(u，v)=sin(u+v)e^u+v可得 f’₁(x，x)+f’₂(x，x)=(sin2x)e^2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程 y’(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e^-2x[∫sin2x.e^2xdx+C]，由分部积分公式，可得 ∫sin2x.e^2xdx=[*](sin2x-cos2x)e^2x，所以 y(x)=[*](sin2x-cos2x)+Ce^-2x。

解析

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考研数学一

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设函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内有fˊ(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ε，使曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝a所围平面图形面积s1是曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝b所围平面图形面积S2的3倍．
求y=3-x的n阶导数．
设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；
设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：秩r(A)≤2；
计算曲面积分2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．
已知(1)计算行列式｜A｜．(2)当实数α为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．
如下图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]、[2，3]上图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是()．
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