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设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
admin
2016-10-27
23
问题
设A=
(Ⅰ)求满足Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
2
的所有向量ξ
2
,ξ
3
;
(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ
2
,ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
选项
答案
(Ⅰ)对增广矩阵(A[*]ξ
1
)作初等行变换,有 [*] 得Ax=0的基础解系(1,一1,2)
T
和Ax=ξ
1
的特解(0,0,1)
T
. 故ξ
2
=(0,0,1)
T
+k(1,一1,2)
T
或ξ
2
=(k,一k,2k+1)
T
,其中k为任意常数. 因为A
2
=[*],对增广矩阵(A
2
[*]ξ
1
)作初等行变换,有 [*] 得A
2
x=0的基础解系(一1,1,0)
T
,(0,0,1)
T
.又A
2
x=ξ
1
有特解([*],0,0)
T
,故 [*] 其中t
1
,t
2
为任意常数. (Ⅱ)因为 [*] 所以ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
必线性无关.
解析
其实求ξ
2
和ξ
3
就是分别求方程组Ax=ξ
1
与方程组A
2
x=ξ
1
的通解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DTu4777K
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考研数学一
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