设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

admin2016-10-27  20

问题 设A=
(Ⅰ)求满足Aξ21,A2ξ32的所有向量ξ2,ξ3
(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.

选项

答案(Ⅰ)对增广矩阵(A[*]ξ1)作初等行变换,有 [*] 得Ax=0的基础解系(1,一1,2)T和Ax=ξ1的特解(0,0,1)T. 故ξ2=(0,0,1)T+k(1,一1,2)T或ξ2=(k,一k,2k+1)T,其中k为任意常数. 因为A2=[*],对增广矩阵(A2[*]ξ1)作初等行变换,有 [*] 得A2x=0的基础解系(一1,1,0)T,(0,0,1)T.又A2x=ξ1有特解([*],0,0)T,故 [*] 其中t1,t2为任意常数. (Ⅱ)因为 [*] 所以ξ1,ξ2,ξ3必线性无关.

解析 其实求ξ2和ξ3就是分别求方程组Ax=ξ1与方程组A2x=ξ1的通解.
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