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  3. 设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2016-10-27  26
问题 设A=
(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案(Ⅰ)对增广矩阵(A[*]ξ1)作初等行变换，有 [*] 得Ax=0的基础解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T． 故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T或ξ2=(k，一k，2k+1)T，其中k为任意常数． 因为A2=[*]，对增广矩阵(A2[*]ξ1)作初等行变换，有 [*] 得A2x=0的基础解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2x=ξ1有特解([*]，0，0)T，故 [*] 其中t1，t2为任意常数． (Ⅱ)因为 [*] 所以ξ1，ξ2，ξ3必线性无关．
解析 其实求ξ2和ξ3就是分别求方程组Ax=ξ1与方程组A2x=ξ1的通解．
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考研数学一

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