设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f()=1,f(1)=0.证明: (1)存在η∈(,1),使得f(η)=η; (2)对任意的k∈(-∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

admin2018-01-23  22

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f()=1,f(1)=0.证明:
(1)存在η∈(,1),使得f(η)=η;
(2)对任意的k∈(-∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

选项

答案(1)令φ(x)=f(x)-x,φ(x)在[0,1]上连续,[*]>0,φ(1)=-1<0, 由零点定理,存在η∈([*],1),使得φ(η)=0,即f(η)=η. (2)设F(x)=e-kxφ(x),显然F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且F(0)=F(η)= 0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,η),使得F’(ξ)=0,整理得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

解析
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