设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证明：在(0，π) 内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2022-06-19 23

问题设函数f(x)在[0，π]上连续，且

试证明：在(0，π) 内至少存在两个不同的点ξ₁，ξ₂，使f(ξ₁)=f(ξ₂)=0.

选项

答案引入辅助函数[*]，则F(0)=0，F(π)=0，又由[*] 因此必存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正(或负)，均与∫_π^’(x)sinxdx=0矛盾．当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，因此F(ξ)=0．综上知F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0＜ξ＜π，在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理，则至少存在ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，π) 使得F^’(ξ₁)=F^’(ξ₁)=0，即f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．

解析

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