已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+332+2ax2x3(a＞0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵P．

admin2018-07-27 111

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+3x₂²+3₃²+2ax₂x₃(a＞0)通过正交变换化成标准形f=y₁²+2y₂²+5y₃²，求参数a及所用的正交变换矩阵P．

选项

答案f的矩阵A=[*]，标准形的矩阵为D=[*]，因P^－1AP=P^TAP=D，知A的特征值为1，2，5，由1×2×5=|A|=2(9－a²)，[*]a=2．计算可得属于1，2，5的单位特征向量分别可取为[*](0，1，－1)^T，(1，0，0)^T，[*](0，1，1)^T，于是所用正交变换的矩阵可取为 [*]

解析

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考研数学三

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