判断下列结论是否正确?为什么? (Ⅰ)若函数f(x),g(x)均在x0处可导,且f(x0)=g(x0),则f’(x0)=g’(x0); (Ⅱ)若x∈(x0-δ,x0+δ),x≠x0时f(x)=g(x),则f(x)与g(x)在x=x0处有相同

admin2016-10-20  34

问题 判断下列结论是否正确?为什么?
    (Ⅰ)若函数f(x),g(x)均在x0处可导,且f(x0)=g(x0),则f’(x0)=g’(x0);
    (Ⅱ)若x∈(x0-δ,x0+δ),x≠x0时f(x)=g(x),则f(x)与g(x)在x=x0处有相同的可导性;
    (Ⅲ)若存在x0的一个邻域(x0-δ,x0+δ,使得x∈(x0-δ,x0+δ)时f(x)=g(x),则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性.若可导,则f’(x0)=g’(x0).

选项

答案(Ⅰ)不正确.函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关,还与该点附近的函数值有关.仅有f(x0)=g(x0)不能保证f’(x0)=g’(x0).正如曲线y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切. (Ⅱ)不正确.例如f(x)=x2, g(x)=[*]显然,当x≠0时f(x)=g(x),但f(x)在点x=0处可导,因为g(x)在点x=0不连续,从而g(x)在点x=0处不可导. (Ⅲ)正确.由假设可得当x∈(x0-δ,x0+δ)时 [*] 因此,当x→x0时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在,而且若存在则相等.再由导数定义即可得出结论.

解析
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