设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向

admin2019-12-26  40

问题 设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

选项

答案【解法1】 记A=(α1,α2,α3,α4),则 [*] 于是当a=0或a=10时,α1,α2,α3,α4线性相关. 当a=0时,α1为向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α21,α3=3α1,α4=4α1. 当a=-10时,对A施以初等行变换,有 [*] 由于β2,β3,β4为β1,β2,β3,β4的一个极大线性无关组,且β1234,故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=-α2-α3-α4. 【解法2】 记A=(α1,α2,α3,α4),对A施以初等行变换, [*] 当a=0时,r(A)=1,因而α1,α2,α3,α4线性相关,此时α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2= 2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当a≠0时,再对B施以初等行变换,得 [*] 如果a≠-10,r(C)=4,从而r(A)=4,故α1,α2,α3,α4线性无关. 如果a=-10,r(C)=3,从而r(a)=3,故α1,α2,α3,α4线性相关,α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=-α2-α3-α4

解析
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