设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x2－4y2，试问在点P0(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

admin2018-09-25 43

问题设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x²－4y²，试问在点P₀(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P₀(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

选项

答案因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑grad u｜_(1，－2)=[*]=(－2xi－8yj)｜_(1，－2)=－2i+16j，故u(x，y)在点P₀(1，－2)处沿grad u｜_(1，－2)=－2i+16j方向升高最快．设所求的路径为y=y(x)，其上任一点P(x，y)处的切向量τ=(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向gradu=－2xi－8yj一致，则有 [*] 求解此微分方程初值问题可知，沿着y=－2x⁴出发时u(x，y)升高最快．

解析

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考研数学一

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设在平面区域D上数量场u(x，y)=50－x2－4y2，试问在点P0(1，一2)∈D处沿什么方向时u(x，y)升高最快，并求一条路径，使从点P0(1，一2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快．

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