设f(x)为偶函数，且满足f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(t－x)dt＝－3x＋2，求f(x)．

admin2018-01-23 62

问题设f(x)为偶函数，且满足f’(x)＋2f(x)－3∫₀^xf(t－x)dt＝－3x＋2，求f(x)．

选项

答案∫₀^xf(t－x)dt＝－∫₀^xf(t－x)d(x－t)＝－∫_x⁰f(－u)du＝∫₀^xf(u)du，则有f’(x)＋2f(x)－3∫₀^xf(u)du＝－3x＋2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)＝0，代入上式得f(0)＝1．将f’(x)＋2f(x)－3∫₀^xf(u)du＝－3x＋2两边对x求导数得 f’’(x)＋2f’(x)－3f(x)＝－3，其通解为f(x)＝C₁e^x＋C₂e^－3x＋1，将初始条件代入得f(x)＝1．

解析

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考研数学三

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