2. 考研
  3. 设f(x)为偶函数，且满足f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(t－x)dt＝－3x＋2，求f(x)．

设f(x)为偶函数，且满足f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(t－x)dt＝－3x＋2，求f(x)．

admin2018-01-23  30
问题 设f(x)为偶函数，且满足f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(t－x)dt＝－3x＋2，求f(x)．
选项
答案∫0xf(t－x)dt＝－∫0xf(t－x)d(x－t)＝－∫x0f(－u)du＝∫0xf(u)du， 则有f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(u)du＝－3x＋2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数， 于是f’(0)＝0，代入上式得f(0)＝1． 将f’(x)＋2f(x)－3∫0xf(u)du＝－3x＋2两边对x求导数得 f’’(x)＋2f’(x)－3f(x)＝－3， 其通解为f(x)＝C1ex＋C2e－3x＋1，将初始条件代入得f(x)＝1．
解析
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考研数学三

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