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  3. 设F(x)=∫－11｜x－t｜e－t2dt－(e－1+1)，讨论F(x)在区间[一1，1]上的零点个数．

设F(x)=∫－11｜x－t｜e－t2dt－(e－1+1)，讨论F(x)在区间[一1，1]上的零点个数．

admin2018-09-25  34
问题 设F(x)=∫－11｜x－t｜e－t2dt－(e－1+1)，讨论F(x)在区间[一1，1]上的零点个数．
选项
答案F(x)=∫－1x(x－t)e－t2dt+∫x1(t－x)e－t2dt－[*](e－1+1) =x∫－1xe－t2dt－∫－1xte－t2dt+∫x1te－t2dt－x∫x1e－t2dt－[*]1(e－1+1)， F’(x)=∫－1xe－t2dt+xe－x2xe－x2－xe－x2－∫x1e－t2dt+xe－x2 =∫－1xe－t2dt－∫x1e－t2dt． 对第二个积分作变量变换t=－u，有 F’(x)=∫－11e－t2dt+∫－x－1e－u2du=∫－xxe－t2dt=∫0xe－t2dt． 所以，当0＜x≤1时，F’(x)＞0；当－1≤x＜0时，F’(x)＜0．所以在区间[－1，0]内F(x) 严格单调减少，在区间[0，1]内F(x)严格单调增加．此外， [*] 由连续函数零点定理知，f(x)在区间(－1，0)与(0，1)内各至少有一个零点，再由单调性知，在这两个区间内正好各有一个零点，共有且仅有两个零点．
解析
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考研数学一

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