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设F(x)=∫-11|x-t|e-t2dt-(e-1+1),讨论F(x)在区间[一1,1]上的零点个数.
设F(x)=∫-11|x-t|e-t2dt-(e-1+1),讨论F(x)在区间[一1,1]上的零点个数.
admin
2018-09-25
57
问题
设F(x)=∫
-1
1
|x-t|e
-t
2
dt-
(e
-1
+1),讨论F(x)在区间[一1,1]上的零点个数.
选项
答案
F(x)=∫
-1
x
(x-t)e
-t
2
dt+∫
x
1
(t-x)e
-t
2
dt-[*](e
-1
+1) =x∫
-1
x
e
-t
2
dt-∫
-1
x
te
-t
2
dt+∫
x
1
te
-t
2
dt-x∫
x
1
e
-t
2
dt-[*]1(e
-1
+1), F’(x)=∫
-1
x
e
-t
2
dt+xe
-x
2
xe
-x
2
-xe
-x
2
-∫
x
1
e
-t
2
dt+xe
-x
2
=∫
-1
x
e
-t
2
dt-∫
x
1
e
-t
2
dt. 对第二个积分作变量变换t=-u,有 F’(x)=∫
-1
1
e
-t
2
dt+∫
-x
-1
e
-u
2
du=∫
-x
x
e
-t
2
dt=∫
0
x
e
-t
2
dt. 所以,当0<x≤1时,F’(x)>0;当-1≤x<0时,F’(x)<0.所以在区间[-1,0]内F(x) 严格单调减少,在区间[0,1]内F(x)严格单调增加.此外, [*] 由连续函数零点定理知,f(x)在区间(-1,0)与(0,1)内各至少有一个零点,再由单调性知,在这两个区间内正好各有一个零点,共有且仅有两个零点.
解析
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考研数学一
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