已知A= 是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量并求可逆矩阵P使P－1AP=A．

admin2016-10-26 51

问题已知A=

是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量并求可逆矩阵P使P^－1AP=A．

选项

答案由A的特征多项式，得 [*] [*] =(λ一2n+1)(λ一n+1)^n－1，所以A的特征值为λ₁=2n—1，λ₂=n一1(n一1重根)．对于λ₁=2n一1，解齐次方程组(λ₁E一A)x=0， [*] 得到基础解系α₁=(1，1，…，1)^T．对于λ₂=n一1，齐次方程组(λ₂E—A)x=0等价于x₁+x₂+…+x_n=0，得到基础解系 α₂=(一1，1，0，…，0)^T， α₃=(一1，0，1，…，0)^T，…， α_n=(一1，0，0，…，1)^T，所以A的特征向量是：k₁α₁及k₂α₂+k₃α₃+…+k_nα_n． [*]

解析

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