设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

admin2019-02-01 50

问题设f=x^TAx，g=x^TBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

选项 A、x^T(A+B)x。
B、x^TA^－1x。
C、x^TB^－1x。
D、x^TABx。

答案D

解析因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ₁，λ₂，…，λ_n都大于零。设Ap_j=λ_jp_j，则A^－1p_j=

p_j，A^－1的n个特征值

(j=1，2，…，n)必都大于零，这说明A^－1为正定阵，x^TA^－1x为正定二定型。
同理，x^TB^－1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有x^T(A＋B)x=x^TAx+x^TBx＞0，这说明x^T(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以x^TABx未必为正定二次型。

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