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  3. 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )

admin2019-02-01  26
问题 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是(    )
选项 A、xT(A+B)x。
B、xTA－1x。
C、xTB－1x。
D、xTABx。
答案D
解析 因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设Apj=λjpj，则A－1pj=pj，A－1的n个特征值(j=1，2，…，n)必都大于零，这说明A－1为正定阵，xTA－1x为正定二定型。
同理，xTB－1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A＋B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。
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考研数学二

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