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已知0<P(B)<1且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是( ).
已知0<P(B)<1且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是( ).
admin
2019-05-08
58
问题
已知0<P(B)<1且P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B),则下列选项成立的是( ).
选项
A、
B、P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)
C、P(A
1
+A
2
)=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)
D、P(B)=P(A
1
)P(B|A
1
)+P(A
2
)P(B|A
2
)
答案
B
解析
解一 因P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)-P(A
1
A
2
|B),又由题设有
P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B),故P(A
1
A
2
|B)=0.因而,P(A
1
A
2
|B)=
P(A
1
A
2
B)/P(B)=0.因P(B)≠0,故P(A
1
A
2
B)=0.于是
P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)=P(A
1
A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B). 仅(B)入选.
解二 在题设等式两边乘以P(B),得
P[(A
1
+A
2
)|B]P(B)=P(A
1
|B)P(B)+P(A
2
|B)P(B),
由乘法公式知,P[B(A
1
+A
2
)]=P(A
1
B)+P(A
2
B),即
P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B).因而仅(B)入选.
解三 由P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)及0<P(B)<1,得
即P(A
1
B+A
2
B)=P[(A
1
+A
2
)B]=P(A
1
B)+P(A
2
B).仅(B)入选.
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考研数学三
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