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已知0＜P(B)＜1且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是( )．
已知0＜P(B)＜1且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是( )．
admin
2019-05-08
52
问题
已知0＜P(B)＜1且P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)，则下列选项成立的是( )．
选项
A、
B、P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)
C、P(A
1
+A
2
)=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)
D、P(B)=P(A
1
)P(B|A
1
)+P(A
2
)P(B|A
2
)
答案
B
解析
解一 因P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)－P(A
1
A
2
|B)，又由题设有
P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)，故P(A
1
A
2
|B)=0．因而，P(A
1
A
2
|B)=
P(A
1
A
2
B)／P(B)=0．因P(B)≠0，故P(A
1
A
2
B)=0．于是
P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)=P(A
1
A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)． 仅(B)入选．
解二 在题设等式两边乘以P(B)，得
P[(A
1
+A
2
)|B]P(B)=P(A
1
|B)P(B)+P(A
2
|B)P(B)，
由乘法公式知，P[B(A
1
+A
2
)]=P(A
1
B)+P(A
2
B)，即
P(A
1
B+A
2
B)=P(A
1
B)+P(A
2
B)．因而仅(B)入选．
解三 由P[(A
1
+A
2
)|B]=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)及0＜P(B)＜1，得
即P(A
1
B+A
2
B)=P[(A
1
+A
2
)B]=P(A
1
B)+P(A
2
B)．仅(B)入选．
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考研数学三
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