设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.

admin2018-05-21  25

问题 设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.

选项

答案方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d,使得P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0, P(2)=f(2)=5/3,P(1)=f(1). [*] 令g(x)=f(x)-P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c1∈(0,1),c2∈(1,2),使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0,又存在d1∈(c1,1),d2∈(1,c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d1,d2)[*](0,2),使得g"’(ξ)=0,而g"’(x)=f"’(x)-2,所以f"’(ξ)=2. 方法二由泰勒公式,得 [*] 两式相减,得2/3=[*],而f"’(x)∈C[0,2],所以存在ξ∈(0,2),使得f"’(ξ)=2.

解析
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