(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a); (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,ξ)(ξ>0)内可导,且f’(x)=A,则f’+(0)

admin2021-01-19  32

问题 (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a);
(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,ξ)(ξ>0)内可导,且f’(x)=A,则f’+(0)存在,且f’+(0)=A。

选项

答案(Ⅰ)作辅助函数 φ(x)=f(x)-f(a)-[*](x-a), 容易证明φ(x)满足φ(a)=φ(b)。 φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 φ’(x)=f’(x)-[*] 根据罗尔定理,可得在(a,b)内至少有一点ξ,使φ’(ξ)=0,即 [*] 所以 f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0,δ),则函数f(x)满足在闭区间[0,x0]上连续,开区间(0,x0)内可导,从而由拉格朗日中值定理可得:存在[*]∈(0,x0)[*](0,δ),使得 [*] 又由于[*]f’(x)=A,对(*)式两边取x0→0+时的极限,可得: [*] 故f’+(0)存在,且f’+(0)=A。

解析
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