2. 考研
  3. (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(ξ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(ξ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)

admin2021-01-19  95
问题 (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)；
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，ξ)(ξ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)存在，且f’+(0)=A。
选项
答案(Ⅰ)作辅助函数 φ(x)=f(x)－f(a)－[*](x－a)， 容易证明φ(x)满足φ(a)=φ(b)。 φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=f’(x)－[*] 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ’(ξ)=0，即 [*] 所以 f(b)－f(a)=f’(ξ)(b－a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，从而由拉格朗日中值定理可得：存在[*]∈(0，x0)[*](0，δ)，使得 [*] 又由于[*]f’(x)=A，对(*)式两边取x0→0+时的极限，可得： [*] 故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。
解析
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考研数学二

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