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设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当xε(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足=t3(t≥0),则f(x)的表达式是_________________________。
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当xε(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足=t3(t≥0),则f(x)的表达式是_________________________。
admin
2018-11-16
50
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,当xε(0,+∞)时f(x)>0且单调上升,x=g(y)为y=f(x)的反函数,它们满足
=t
3
(t≥0),则f(x)的表达式是_________________________。
选项
答案
f(x)=x
2
(x≥0)
解析
方法一:由定积分的几何意义知:
=由曲线y=f(x),x、y轴及直线x=t>0所围成的曲边梯形的面积,
=由曲线x=g(y),y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积。x=g(y)与y=f(x)互为反函数,代表同一条曲线,它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t)),见下图。
于是
,因此tf(t)=t
3
,f(t)=t
2
(t≥0),即f(x)=x
2
(x≥0)。
方法二:先化简题设方程的左端式子,有
于是
,即tf(t)=t
3
,f(t)=t
2
(t≥0),因此f(x)=x
2
(x≥0)。
方法三:将题设方程两边求导得
,即f(t)+g[f(t)]f
’
t=3t
2
,f(t)=tf
’
(t)=3t
2
,亦即[tf(t)]
’
=3t
2
。(原方程中令t=0,等式自然成立,不必另加条件),将上式积分得tf(t)=t
3
+C,即
,因f(t)在[0,+∞)上连续,故必有C=0,因此f(x)=x
2
(x≥0)。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DyW4777K
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考研数学三
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