设A=E一ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明: A2=A的充分条件是ξTξ=1;

admin2016-03-05  52

问题 设A=E一ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:
A2=A的充分条件是ξTξ=1;

选项

答案A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E一(2一ξTξ)ξξT因此A2=A→E一(2一ξTξ)ξξT=E一ξξT→(ξTξ一1)ξξT=0.因为ξ≠0,所以ξξT≠0,因此A2=A的充分条件为ξTξ=1.

解析
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