2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0． 证明：方程x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0． 证明：方程x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

admin2022-05-20  58
问题 设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0．
证明：方程x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．
选项
答案令F(x)=f(x)∫0xtf(t)dt，由于 F’(x)=x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt， 故只要证明F(x)有三个零点，再利用罗尔定理即可． 由A[(α1+α3)一(α1+α2)]=A(α3-α2)=Aα3-Aα2=b-b=0， 所以 (α1+α3)-(α1+α2)=(1，1，2，1)T是Ax=0的基础解系，从而Ax=b的通解为 F(0)=0，F(η)=0，F(1)=0， 在[0，η]与[η，1]上分别对F(x)利用罗尔定理，有 F’(ξ1)=0，ξ1∈(0，η)，F’(ξ2)=0，ξ2∈(η，1)． 故原方程有两个不同的实根．
解析
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考研数学三

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