证明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

admin2016-09-13 34

问题证明：方程x^α=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

选项

答案令f(x)=lnx－x^α，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=－1＜0，[*]=+∞，故[*]，当x＞X时，有f(x)＞M＞0，任取x₀＞X，则f(1)f(x₀)＜0，根据零点定理，[*]∈(1，x₀)，使得f(ξ)=0，即方程x^α=lnx在(0，+∞)上至少有一实根．又1nx在(0，+∞)上单调增加，α＜0，－x^α也单调增加，从而f(x)在(0，+∞)上单调增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程x^α=lnx在(0，+∞)上只有一个实根．

解析

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