[2003年] 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体体积V．

admin2019-04-08 43

问题 [2003年] 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．
求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体体积V．

选项

答案切线y=x／e与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 V₁=πe²(1／3)=πe²／3，或V₁=∫₀^e2π(e一x)｜y｜dx=[*]，或 V₁=∫₀¹π(e—x)²dy=∫₀¹(e—ey)²dy=πe²∫₀¹(1一y)²dy=[*]．曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V₂=∫₀¹π(e—x)²dy=∫₀¹π(e—e^y)²dy=[*] 或 V₂=∫₁^eπ(e—x)lnxdx=[*]．因此所求旋转体体积为 V=V₁-V₂=π(5e²一12e+3)／6．

解析

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考研数学一

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讨论函数f(x)=(x＞0)的连续性．
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求级数
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计算二重积分I=∫01dx
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