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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且矩阵A满足A2+A=0,则与A相似的矩阵是
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且矩阵A满足A2+A=0,则与A相似的矩阵是
admin
2019-07-10
52
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的秩为2,且矩阵A满足A
2
+A=0,则与A相似的矩阵是
选项
A、
B、
C、
D、
答案
C
解析
设λ是矩阵A的任意一个特征值,α是相应的特征向量,即Aα=λα.用α右乘题设等式条件,得
A
2
α+Aα=0, 即有(λ
2
+λ)α=0.
因α≠0,故有λ
2
+λ=0,从而λ=0或λ=一1.又由矩阵A的秩为2可知,矩阵A的特征值为0,一1,一1,实对称矩阵A必与以它的特征值0,一1,一1为主对角线元素的对角矩阵相似.
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考研数学三
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