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设n维列向量α1,α2,…,αn-1,β线性无关,且与非零向量β1,β2都正交.证明β1,β2线性相关,α1,α2,…,αn-1,β1线性无关.
设n维列向量α1,α2,…,αn-1,β线性无关,且与非零向量β1,β2都正交.证明β1,β2线性相关,α1,α2,…,αn-1,β1线性无关.
admin
2016-10-26
51
问题
设n维列向量α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β线性无关,且与非零向量β
1
,β
2
都正交.证明β
1
,β
2
线性相关,α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
线性无关.
选项
答案
用α
1
,α
2
,…,α
n-1
构造(n一1)×n矩阵:A=[*]因为β
1
与每个α
i
都正交,有α
i
T
β
1
=0,进而Aβ
1
=0,即β
1
是齐次方程组Ax=0的非零解.同理β
2
也是Ax=0的解. 又因r(A)=r(α
1
,α
2
,…,α
n-1
)=n一1,齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n—r(A)=1个解向量构成,从而β
1
,β
2
线性相关.若 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
+lβ
1
=0 (*) 那么,用β
1
作内积,有k
1
(β
1
,α
1
)+k
2
(β
1
,α
2
)+…+k
n-11
(β
1
,α
n-1
)+l(β
1
,β
1
)=0. 因为(β
1
,α
i
)=0 (i=1,2,…,n一1),及‖β
1
‖≠0,有l(β
1
,β
1
)=l‖β
1
‖
2
=0, 得到l=0.将l=0代入(*)式,有 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
=0. 由于α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性无关,得k
1
=k
2
=…=k
n-1
=0,所以(*)中组合系数必全是零,即α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
线性无关.
解析
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