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  3. 设n维列向量α1，α2，…，αn－1，β线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn－1，β1线性无关．

设n维列向量α1，α2，…，αn－1，β线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn－1，β1线性无关．

admin2016-10-26  27
问题 设n维列向量α1，α2，…，αn－1，β线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn－1，β1线性无关．
选项
答案用α1，α2，…，αn－1构造(n一1)×n矩阵：A=[*]因为β1与每个αi都正交，有αiTβ1=0，进而Aβ1=0，即β1是齐次方程组Ax=0的非零解．同理β2也是Ax=0的解． 又因r(A)=r(α1，α2，…，αn－1)=n一1，齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n—r(A)=1个解向量构成，从而β1，β2线性相关．若 k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1+lβ1=0 (*) 那么，用β1作内积，有k1(β1，α1)+k2(β1，α2)+…+kn－11(β1，αn－1)+l(β1，β1)=0． 因为(β1，αi)=0 (i=1，2，…，n一1)，及‖β1‖≠0，有l(β1，β1)=l‖β1‖2=0， 得到l=0．将l=0代入(*)式，有 k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1=0． 由于α1，α2，…，αn－1线性无关，得k1=k2=…=kn－1=0，所以(*)中组合系数必全是零，即α1，α2，…，αn－1，β1线性无关．
解析
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考研数学一

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