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设,求A的特征值和全部特征向量.
设,求A的特征值和全部特征向量.
admin
2021-07-27
39
问题
设
,求A的特征值和全部特征向量.
选项
答案
若a=0,则A为零矩阵,其特征值为0(三重根),对应特征向量为任意一个线性无关的三维向量组ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,A的全部特征向量即为线性组合c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
+c
3
ξ
3
,其中c
1
,c
2
,c
3
为不同时为零的任意常数.若a≠0,由[*]解得特征值为λ=0(二重),λ=3a.当λ=3a时,求解方程组(3aE-A)x=0,由其同解方程组[*]得一个基础解系ξ=[1,1,1]
T
,因此,矩阵A对应于λ=3a的全部特征向量为cξ,c为任意非零常数.当λ=0时,求解方程组(0E-A)x=-Ax=0,由其同解方程x
1
+x
2
+x
3
=0,得一个基础解系ξ
1
=[-1,1,0]
T
,ξ
2
=[-1,0,1]
T
,因此,矩阵A对应于λ=0的全部特征向量为c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
,其中c
1
,c
2
为不同时为零的任意常数.
解析
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考研数学二
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