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设α1,α2,α3,α4都是n维向量.判断下列命题是否成立. ①如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ②如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α
设α1,α2,α3,α4都是n维向量.判断下列命题是否成立. ①如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ②如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α
admin
2019-08-12
53
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
都是n维向量.判断下列命题是否成立.
①如果α
1
,α
2
,α
3
线性无关,α
4
不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.
②如果α
1
,α
2
线性无关,α
3
,α
4
都不能用α
1
,α
2
线性表示,则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.
③如果存在n阶矩阵A,使得Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
线性无关,则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.
④如果α
1
=Aβ
1
,α
2
=Aβ
2
,α
3
=Aβ
3
,α
4
=Aβ
4
,其中A可逆,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.
其中成立的为
选项
A、①③④.
B、①②③.
C、②③④.
D、①②④.
答案
A
解析
①,③,④.
①直接从定理3.2得到.
②明显不对,例如α
3
不能用α
1
,α
2
线性表示,而α
3
=α
4
时,α
3
,α
4
都不能用α
1
,α
2
线性表示但是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.
③容易用秩说明:Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
的秩即矩阵(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
)的秩,而(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
)=A(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),由矩阵秩的性质④,
r(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
)≤r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
).Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
无关,秩为4,于是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的秩也一定为4,线性无关.
④也可从秩看出:A可逆时,r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
,Aα
4
)=4.
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