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  3. 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α

设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α

admin2019-08-12  77
问题 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立．
    ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    ④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．
    其中成立的为
选项 A、①③④.
B、①②③.
C、②③④.
D、①②④.
答案A
解析 ①，③，④．
    ①直接从定理3．2得到．
    ②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．
    ③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，
    r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4
的秩也一定为4，线性无关．
    ④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4．
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考研数学二

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