2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＞0(a＜c＜b)，证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)+f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＞0(a＜c＜b)，证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)+f’(ξ)=0．

admin2022-06-04  54
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＞0(a＜c＜b)，证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)+f’(ξ)=0．
选项
答案令F(x)=exf(x)在[a，b]上连续，且F(A)＜0，F(B)＜0，F(C)＞0．在区间[a，c]与[c，b]内使用零点定理，得存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)使F(ξ1)=F(ξ2)=0． 又F(x)=exf(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0．故必存在一点 ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)使F’(ξ)=0．而由 F’(x)=exf(x)+exf’(x)=ex[f(x)+f’(x)] 得 F’(ξ)=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0 所以存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)+f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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