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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)<0,f(b)<0,f(c)>0(a<c<b),证明:在(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)+f’(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)<0,f(b)<0,f(c)>0(a<c<b),证明:在(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)+f’(ξ)=0.
admin
2022-06-04
55
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)<0,f(b)<0,f(c)>0(a<c<b),证明:在(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)+f’(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=e
x
f(x)在[a,b]上连续,且F(A)<0,F(B)<0,F(C)>0.在区间[a,c]与[c,b]内使用零点定理,得存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b)使F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0. 又F(x)=e
x
f(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,在(ξ
1
,ξ
2
)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0.故必存在一点 ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b)使F’(ξ)=0.而由 F’(x)=e
x
f(x)+e
x
f’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)] 得 F’(ξ)=e
ξ
[f(ξ)+f’(ξ)]=0 所以存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)+f’(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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