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  3. 设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．

设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．

admin2019-08-28  68
问题 设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．
选项
答案方法一 因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得QTAQ=[*] 其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A+E)Q=[*] 于是｜QT(A+E)Q｜=｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1． 方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．
解析
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考研数学三

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