设有空间区域 Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0; Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0。 则有( )

admin2019-02-23  34

问题 设有空间区域
    Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0;
    Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0。
则有(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案C

解析 由题设可知Ω1关于yOz坐标平面对称,选项A的左端积分中被积函数为x的奇函数。由三重积分的对称性质可知
    =0,    (*)
    而在Ω2上,x≥0,从而≥0,可知(A)不正确。
    由于Ω2的边界曲面方程对x,y具有轮换对称性,可知>0。又由于Ω1关于zOx戈坐标平面对称,选项(B)中左端积分的被积函数为y的奇函数,由三重积分对称性可知
    =0,
    可知(B)不正确。
    由于Ω1关于yOz坐标平面对称,也关于xOz坐标平面对称,(C)左端积分的被积函数z既为x的偶函数,也为y的偶函数,由两次使用三重积分对称性质,可得

    可知(C)正确。
    由(*)式可知(D)在左端积分为零,而右端积分大于零。可知(D)不正确。
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