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  3. 设有空间区域 Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0； Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。 则有( )

设有空间区域 Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0； Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。 则有( )

admin2019-02-23  67
问题 设有空间区域
    Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；
    Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。
则有(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案C
解析 由题设可知Ω1关于yOz坐标平面对称，选项A的左端积分中被积函数为x的奇函数。由三重积分的对称性质可知
    =0，    (*)
    而在Ω2上，x≥0，从而≥0，可知(A)不正确。
    由于Ω2的边界曲面方程对x，y具有轮换对称性，可知＞0。又由于Ω1关于zOx戈坐标平面对称，选项(B)中左端积分的被积函数为y的奇函数，由三重积分对称性可知
    =0，
    可知(B)不正确。
    由于Ω1关于yOz坐标平面对称，也关于xOz坐标平面对称，(C)左端积分的被积函数z既为x的偶函数，也为y的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得

    可知(C)正确。
    由(*)式可知(D)在左端积分为零，而右端积分大于零。可知(D)不正确。
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考研数学一

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