已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

admin2017-12-11 31

问题已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

选项

答案xe^x1

解析这是一个已知函数方程求函数问题，其一般方法是将已知函数方程两边求导数，得到微分方程，解微分方程得到所求函数．但由于本题f(x)仅已知其在(-∞，+∞)内有定义，条件太弱，方程两边不能求导数，所以考虑用导数的定义建立微分方程．
在已知等式中，取x=y=0，得f(0)=0．由导数的定义，得

=f(x)+e^xf’(0)=f(x)+e^x+1．
于是，f(x)满足的微分方程为

这是一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程的通解公式求解，也可以用下面简便方法求解．
因为f’(x)-f’(x)=e^x+1，将方程两边乘以e^-x，得
e^-xf’(x)-e^-xf’(x)=e，即[e^-xf(x)]’=e，
等式两边积分，得 e^-xf(x)=ex+C，
所以 f(x)=Ce^x+xe^x+1，
由f(0)=0，得C=0，故f(x)=xe^x+1．

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考研数学一

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已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

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设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝．求

设随机变量X，Y相互独立，且，又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α1＋α2，α2＋Xα3，Yα1线性相关的概率．

设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为判断随机变量X，Y是否相互独立；

设随机变量X，Y独立同分布，且设随机变量U＝max{X，Y)，V＝min{X，Y)．判断U，V是否相互独立?

将编号为1，2，3的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率．

设A，B为三阶矩阵，且AB＝A—B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：AB＝BA；

设，方程组AX＝β有解但不唯一．求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角阵；

位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(其中常数k＞0，且r＝｜AM｜)，质点M沿曲线L：自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．

将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：估计数据个数n满足何条件时，以不小于90％的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n.

设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

从上表可以看出，下列年份中，医院诊疗人次最多是。卫生院接受诊疗人次在当年总诊疗人次中比率最高的年份是。

提出“五脏六腑皆令人咳，非独肺也”的医籍是（　　）。

水泥不溶物含量试验(盐酸-氢氧化钠处理)需要用到()。

因非法批准而使用土地的当事人，因退还土地而遭受的损失，不能向原批地单位依法申请行政赔偿。()

甲公司高级管理人员张某2016年度月平均工资为15000元，公司所在地职工月平均工资为4000元。2017年甲公司每月应扣缴张某基本养老保险费的下列结算列式中，正确的是()。

根据资源税法律制度的规定，下列各项中，属于资源税征税范围的有()。

下列属于生态环境保护措施的有()。

下列对CiscoAironet1100系列接入点的描述中，错误的是（）。

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设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

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