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  3. 已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．

admin2017-12-11  35
问题 已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．
选项
答案xex1
解析 这是一个已知函数方程求函数问题，其一般方法是将已知函数方程两边求导数，得到微分方程，解微分方程得到所求函数．但由于本题f(x)仅已知其在(-∞，+∞)内有定义，条件太弱，方程两边不能求导数，所以考虑用导数的定义建立微分方程．
    在已知等式中，取x=y=0，得f(0)=0．由导数的定义，得

    =f(x)+exf’(0)=f(x)+ex+1．
于是，f(x)满足的微分方程为

    这是一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程的通解公式求解，也可以用下面简便方法求解．
    因为f’(x)-f’(x)=ex+1，将方程两边乘以e-x，得
    e-xf’(x)-e-xf’(x)=e，  即[e-xf(x)]’=e，
等式两边积分，得    e-xf(x)=ex+C，
所以    f(x)=Cex+xex+1，
由f(0)=0，得C=0，故f(x)=xex+1．
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