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已知f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x,y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y),又f(x)在点x=0处可导,且f’(0)=e,则f(x)=_______.
已知f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x,y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y),又f(x)在点x=0处可导,且f’(0)=e,则f(x)=_______.
admin
2017-12-11
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问题
已知f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x,y满足f(x+y)=e
y
f(x)+e
x
f(y),又f(x)在点x=0处可导,且f’(0)=e,则f(x)=_______.
选项
答案
xe
x1
解析
这是一个已知函数方程求函数问题,其一般方法是将已知函数方程两边求导数,得到微分方程,解微分方程得到所求函数.但由于本题f(x)仅已知其在(-∞,+∞)内有定义,条件太弱,方程两边不能求导数,所以考虑用导数的定义建立微分方程.
在已知等式中,取x=y=0,得f(0)=0.由导数的定义,得
=f(x)+e
x
f’(0)=f(x)+e
x+1
.
于是,f(x)满足的微分方程为
这是一阶线性微分方程,可以利用一阶线性微分方程的通解公式求解,也可以用下面简便方法求解.
因为f’(x)-f’(x)=e
x+1
,将方程两边乘以e
-x
,得
e
-x
f’(x)-e
-x
f’(x)=e, 即[e
-x
f(x)]’=e,
等式两边积分,得 e
-x
f(x)=ex+C,
所以 f(x)=Ce
x
+xe
x+1
,
由f(0)=0,得C=0,故f(x)=xe
x+1
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wwr4777K
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考研数学一
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