设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。

admin2019-08-11 43

问题设α=(1，一1，a)^T，β=(1，a，2)^T，A=E+αβ^T，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。

选项

答案k(1，一1，1)^T。k≠0

解析令B=αβ^T，则矩阵B的秩是1，且β^Tα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。
因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是
βα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=2α，
即α=(1，一1，1)^T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。

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