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设α=(1,一1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。
设α=(1,一1,a)T,β=(1,a,2)T,A=E+αβT,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。
admin
2019-08-11
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问题
设α=(1,一1,a)
T
,β=(1,a,2)
T
,A=E+αβ
T
,且λ=3是矩阵A的特征值,则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。
选项
答案
k(1,一1,1)
T
。k≠0
解析
令B=αβ
T
,则矩阵B的秩是1,且β
T
α=a+1,由此可知矩阵B的特征值为a+1,0,0。那么A=E+B的特征值为a+2,1,1。
因为λ=3是矩阵A的特征值,所以a+2=3,即a=1。于是
βα=(αβ
T
)α=α(β
T
α)=2α,
即α=(1,一1,1)
T
是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量,也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
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考研数学二
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