2. 考研
  3. 设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。

设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。

admin2019-08-11  71
问题 设α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________。
选项
答案k(1，一1，1)T。k≠0
解析 令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。
因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是
βα=(αβT)α=α(βTα)=2α，
即α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。
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考研数学二

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