2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj． (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj． (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型

admin2018-08-02  104
问题 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．
(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A-1；
(2)二次型g(x)=xTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案(1) f(X)=(x1，x2，…，xn) [*] 因秩(A)=n，故A可逆，且A-1=[*]A*，从而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A与A-1合同，于是g(X)与f(x)有相同的规范形．
解析
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考研数学二

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