2. 考研
  3. 设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛。

设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛。

admin2017-12-29  30
问题 设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛。
选项
答案记fn（x）=xn+nx一1。由fn（0）=一1＜0，fn（1）=n＞0，结合连续函数的零点定理知，方程xn+nx一1=0存在正实数根xn∈（0，1）。 当x＞0时，fn’（x）=nxn—1+n＞0，可见fn（x）在[0，+∞）上单调增加，故方程xn+nx一1=0存在唯一正实数根xn。 由xn+nx一1=0与xn＞0知 [*] 故当α＞1时，0＜xnα＜[*]。而正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]xnα收敛。
解析
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考研数学三

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