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设方程xn+nx一1=0,其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数xnα收敛。
设方程xn+nx一1=0,其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数xnα收敛。
admin
2017-12-29
58
问题
设方程x
n
+nx一1=0,其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根x
n
,并证明当α>1时,级数
x
n
α
收敛。
选项
答案
记f
n
(x)=x
n
+nx一1。由f
n
(0)=一1<0,f
n
(1)=n>0,结合连续函数的零点定理知,方程x
n
+nx一1=0存在正实数根x
n
∈(0,1)。 当x>0时,f
n
’
(x)=nx
n—1
+n>0,可见f
n
(x)在[0,+∞)上单调增加,故方程x
n
+nx一1=0存在唯一正实数根x
n
。 由x
n
+nx一1=0与x
n
>0知 [*] 故当α>1时,0<x
n
α
<[*]。而正项级数[*]收敛,所以当α>1时,级数[*]x
n
α
收敛。
解析
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考研数学三
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