设方程xn+nx一1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛。

admin2017-12-29 52

问题设方程xⁿ+nx一1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根x_n，并证明当α＞1时，级数

x_n^α收敛。

选项

答案记f_n（x）=xⁿ+nx一1。由f_n（0）=一1＜0，f_n（1）=n＞0，结合连续函数的零点定理知，方程xⁿ+nx一1=0存在正实数根x_n∈（0，1）。当x＞0时，f_n^’（x）=nx^n—1+n＞0，可见f_n（x）在[0，+∞）上单调增加，故方程xⁿ+nx一1=0存在唯一正实数根x_n。由xⁿ+nx一1=0与x_n＞0知 [*] 故当α＞1时，0＜x_n^α＜[*]。而正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]x_n^α收敛。

解析

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