2. 考研
  3. 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． 令C＝(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx＝b的通解．

已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T． 令C＝(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx＝b的通解．

admin2019-08-27  27
问题 已知A＝(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax＝b的通解为(1，1，1，1)T＋k1(1，0，2，1)T＋k2(2，1，1，－1)T．
令C＝(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx＝b的通解．
选项
答案与(Ⅰ)类似，先求Cx＝0的基础解系． 由于C即为线性方程组Ax＝b的增广矩阵，故R(C)＝R(A)＝2，可知Cx＝0的基础解系中含有5－2＝3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx＝0的三个线性无关的解． 由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，－1)T均为Ax＝0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1－1，0)T均为Cx＝0的解．而(1，1，1，1)T为Ax＝b的解，可知α1＋α2＋α3＋α4＝b，也即α1＋α2＋α3＋α4－b＝0，故(1，1，1，1，－1)T也为Cx＝0的解． 这样，我们就找到了Cx＝0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，－1，0)T，(1，1，1，1，－1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx＝0的基础解系． 最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cx＝b的解，故Cx＝b的通解为(0，0，0，0，1)T＋k1(1，0，2，1，0)T＋k2(2，1，1，－1，0)T＋k3(1，1，1，1，－1)T，ki∈R，i＝1，2，3．
解析 【思路探索】对于抽象型线性方程组，通常利用解的结构求解．
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考研数学一

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