设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则

admin2021-01-19 48

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=a(x₁²，x₂²，x₃²)+2x₁x₂+2x₂x₃+2x₁x₃的正、负惯性指数分别为1，2，则

选项 A、a＞1
B、a＜一2
C、一2＜a＜1
D、a=1或a=一2

答案C

解析由于二次型矩阵A=

的每行元素之和都等于a+2，所以λ₁=a+2是A的一个特征值，设A的另外两个特殊性征值是λ₂，λ₃，由题设条件知一个特征值为正，两个特征值为负，因此λ₁λ₂λ₃＞0，再由特征值的性质知

因此λ₁=a+2＞0，得a＞一2，于是λ₂，λ₃都小于零，
由(1)得λ₂+λ₃=3a 一λ₁=3a一(a+2)=2a一2＜0，得a＜1，综合可得一2＜a＜1．

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