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设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12,x22,x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则
设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12,x22,x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则
admin
2021-01-19
81
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=a(x
1
2
,x
2
2
,x
3
2
)+2x
1
x
2
+2x
2
x
3
+2x
1
x
3
的正、负惯性指数分别为1,2,则
选项
A、a>1
B、a<一2
C、一2<a<1
D、a=1或a=一2
答案
C
解析
由于二次型矩阵A=
的每行元素之和都等于a+2,所以λ
1
=a+2是A的一个特征值,设A的另外两个特殊性征值是λ
2
,λ
3
,由题设条件知一个特征值为正,两个特征值为负,因此λ
1
λ
2
λ
3
>0,再由特征值的性质知
因此λ
1
=a+2>0,得a>一2,于是λ
2
,λ
3
都小于零,
由(1)得λ
2
+λ
3
=3a 一λ
1
=3a一(a+2)=2a一2<0,得a<1,综合可得一2<a<1.
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考研数学二
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