设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12,x22,x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则

admin2021-01-19  35

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=a(x12,x22,x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1,2,则

选项 A、a>1
B、a<一2
C、一2<a<1
D、a=1或a=一2

答案C

解析 由于二次型矩阵A=的每行元素之和都等于a+2,所以λ1=a+2是A的一个特征值,设A的另外两个特殊性征值是λ2,λ3,由题设条件知一个特征值为正,两个特征值为负,因此λ1λ2λ3>0,再由特征值的性质知

因此λ1=a+2>0,得a>一2,于是λ2,λ3都小于零,
由(1)得λ23=3a 一λ1=3a一(a+2)=2a一2<0,得a<1,综合可得一2<a<1.
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