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选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi-x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度: (Ⅰ)D={(x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式: (Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.
选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x4+y2)λi-x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度: (Ⅰ)D={(x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式: (Ⅱ)D={(x,y)|x2+y2>0}.
admin
2016-10-26
27
问题
选择常数λ取的值,使得向量A(x,y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
i-x
2
(x
4
+y
2
)
λ
j在如下区域D为某二元函数u(x,y)的梯度:
(Ⅰ)D={(x,y)|y>0},并确定函数u(x,y)的表达式:
(Ⅱ)D={(x,y)|x
2
+y
2
>0}.
选项
答案
记A=P(x,y)i+Q(x,y)j,先由(P,Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件[*]定出参数λ. [*]=2x(x
4
+y
2
)
λ
+λ4xy
2
(x
4
+y
2
)λ
-1
, [*]=-2x(x
4
+y
2
)
λ
-λ4x
5
(x
4
+y
2
)λ
-1
. [*]4x(x
4
+y
2
)λ+4λx(x
4
+y
2
)
λ
=0([*]λ=-1. (Ⅰ)由于D={(x,y)|y>0}是单连通,λ=-1是存在u(x,y)使du=Pdx+Qdy的充要条件, 因此仅当λ=-1时存在u(x,y)使(P,Q)为u的梯度. 现求u(x,y),使得du(x,y)=[*]dy. 凑微分法. [*] (*) 则 u(x,y)=arctan[*]+C. (Ⅱ)D={(x,y)|x
2
+y
2
>0}是非单连通区域,[*]((x,y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数.我们再取环绕(0,0)的闭曲线C:x
4
+y
2
=1,逆时针方向,求出 [*] 其中D
0
是C围成的区域,它关于y轴对称.于是∫
L
Pdx+Qdy在D与路径无关,即Pdx+Qdy,在D存在原函数.因此,仅当λ=-1时A(x,y)=(P,Q)在D为某二元函数u(x,y)的梯度.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/F2u4777K
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