2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导.证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/4]f″(ξ)

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导.证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/4]f″(ξ)

admin2022-08-19  68
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导.证明：存在ξ∈(a，b)，使得
f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/4]f″(ξ)
选项
答案因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 f(a)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][a-(a+b)/2]+[f″(ξ1)/2!][a-(a+b)/2]2， f(b)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][a-(a+b)/2]+[f″(ξ2)/2!][b-(a+b)/2]2， 其中ξ1∈[a，(a+b)/2]，ξ2∈[(a+b)/2，b] 两式相加得f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/8]=[(b-a)2/8][f″(ξ1)+f″(ξ2)]. 因为f″(x)在(a，b)内连续，所以f″(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f″(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤[f″(ξ1)+f″(ξ2)]/2≤M， 由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得[f″(ξ1)+f″(ξ2)]/2=f″(ξ)， 故f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=(b-a)2/8[f″(ξ1)+f″(ξ2)]=[(b-a)2/4]f″(ξ).
解析
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考研数学三

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