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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/4]f″(ξ)
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)2/4]f″(ξ)
admin
2022-08-19
59
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得
f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)
2
/4]f″(ξ)
选项
答案
因为f(x)在(a,b)内二阶可导,所以有 f(a)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][a-(a+b)/2]+[f″(ξ
1
)/2!][a-(a+b)/2]
2
, f(b)=f[(a+b)/2]+f′[(a+b)/2][a-(a+b)/2]+[f″(ξ
2
)/2!][b-(a+b)/2]
2
, 其中ξ
1
∈[a,(a+b)/2],ξ
2
∈[(a+b)/2,b] 两式相加得f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=[(b-a)
2
/8]=[(b-a)
2
/8][f″(ξ
1
)+f″(ξ
2
)]. 因为f″(x)在(a,b)内连续,所以f″(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,从而f″(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到最小值m和最大值M,故m≤[f″(ξ
1
)+f″(ξ
2
)]/2≤M, 由介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得[f″(ξ
1
)+f″(ξ
2
)]/2=f″(ξ), 故f(a)+f(b)-2f[(a+b)/2]=(b-a)
2
/8[f″(ξ
1
)+f″(ξ
2
)]=[(b-a)
2
/4]f″(ξ).
解析
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考研数学三
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