已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-27 64

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^-x，y₃^*=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*-y₃^*=e^-x，y₂^*-y₃^*=2e^-x-e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^-x，y₂=2(y₁^*-y₃^*)-(y₂^*-y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*-y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^-x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=-1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0，即 λ²-λ-2=0．因此方程为y’’-y’-2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=f(x)，即f(x)=(1-2x)e^x 因此方程为y’’-y’-2y=(1-2x)e^x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

考研数学二

微分方程yy’’一(y’)2=0满足y(0)=1与y’(0)=1的特解是_________．

已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，其中α1,α2,α3,α4是4维列向量．若齐次方程组Ax=0的通解是k(1，0，一3，2)T，证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系．

设f(x)是(一∞，+∞)上的连续奇函数，且满足｜f(x)｜≤M，其中常数M>0，则函数F(x)=是(一∞，+∞)上的

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求曲线L与x轴所围图形绕Oy轴旋转一周所成旋转体的体积V；

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求证：由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；

设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1,则=__________.

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，一3，1，α)T，求矩阵A；

设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则

A．羌活B．防风C．薄荷D．蝉蜕既能散外风，又能息内风的药物是

根据《中华人民共和国土地管理法》国家建立全国土地管理信息系统，对()状况进行动态监测。

规划评估指标体系应按照“目标明确、结构清晰、数据易取”的思路和“内容全面、易于分析、适应性强”的原则，采用()指标交叉补充的方法制定。

企业发生的下列交易或事项产生的汇兑差额应计入当期损益的有()。(2012年)

_____forthefactthatshebrokeherleg,shemighthavepassedtheexam.

Astudentwenttocollegeafter【C1】______allhisschoolexaminations．Thereheputhisnamedownforworldgeography，【C2】

天山是世界上最大的()山系。

进程状态之间的下列各种转换，不可能出现的是______。

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求曲线L与x轴所围图形绕Oy轴旋转一周所成旋转体的体积V；

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设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则

A．羌活B．防风C．薄荷D．蝉蜕既能散外风，又能息内风的药物是

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