已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-27 68

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^-x，y₃^*=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*-y₃^*=e^-x，y₂^*-y₃^*=2e^-x-e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^-x，y₂=2(y₁^*-y₃^*)-(y₂^*-y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*-y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^-x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=-1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0，即 λ²-λ-2=0．因此方程为y’’-y’-2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=f(x)，即f(x)=(1-2x)e^x 因此方程为y’’-y’-2y=(1-2x)e^x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，其中α1,α2,α3,α4是4维列向量．若齐次方程组Ax=0的通解是k(1，0，一3，2)T，证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系．

设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．求α1,α2,α3,α4应满足的条件；

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求曲线L与x轴所围图形绕Oy轴旋转一周所成旋转体的体积V；

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求a的值；

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，一3，1，α)T，求矩阵A；

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一般孩子1岁时，胸围和头围几乎相等。()

在实践性型培训中，工作轮换法的优点不包括()。

我国社会主义民主政治的本质和核心是

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