函数u=xyz2在条件x2+y2+z2=4(x>0，y>0，z>0)下的最大值是

admin2014-02-05 51

问题函数u=xyz²在条件x²+y²+z²=4(x>0，y>0，z>0)下的最大值是

选项 A、

B、1
C、2
D、3

答案C

解析【分析一】用拉格朗日乘子法求解．令F(x，y,z)=xyz²+λ(x²+y²+x²—4)，则

由①，②，③得

，代入④得

．因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为

．应选C．
【分析二】化为简单最值问题．由条件解出z²=4一x²一y²(02+y²<4)，代入表达式，转化为求u=xy(4一x²一y²)在区域D={(x，y)｜02+y²<4}的最大值．解

即

得x=1，y=1→u(1，1)=2．又u在D的边界上取零值，因此

．应选C．

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