2. 考研
  3. 已知有一座小山，取它的底面所在的平面为坐标面xOy，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2-xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy． 设M(x0，y0)为区域D上一个点，问h(x，y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若

已知有一座小山，取它的底面所在的平面为坐标面xOy，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2-xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy． 设M(x0，y0)为区域D上一个点，问h(x，y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若

admin2022-07-21  104
问题 已知有一座小山，取它的底面所在的平面为坐标面xOy，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2-xy≤75)，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy．
设M(x0，y0)为区域D上一个点，问h(x，y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出的表达式；
现欲利用此小山开展攀岸活动，为此需要在山脚下找一个坡度最大的点作为攀登起点，也就是，要在D的边界曲线上找出(1)中g(x，y)的最大值点，试求攀登起点的位置．
选项
答案(1)由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x0，y0)沿梯度 gradh(x，y)[*]=(y0-2x0，x0-2y0) 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 g(x0，y0)=[*] (2)令f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy，由题意知，只需要求f(x，y)在约束条件75-x2-y2+xy=0下的最大值点． 构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=f(x，y)=5x2+5y2-8xy+λ(75-x2-y2+xy) 则 [*] 由上面方程前两个相加得(x+y)(2-λ)=0，从而得y=-x或λ=2． 若λ=2，由第一个方程得y=x代入带三个方程得[*]，把y=-x代入第三个方程得x=±5，y=[*]5，故得到四个可能的极值点 M1(5，-5)，M2(-5，5)，[*] 故选择作M1(5，-5)或M2(-5，5)为攀登起点．
解析
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考研数学三

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