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已知有一座小山,取它的底面所在的平面为坐标面xOy,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2-xy≤75),小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy. 设M(x0,y0)为区域D上一个点,问h(x,y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若
已知有一座小山,取它的底面所在的平面为坐标面xOy,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2-xy≤75),小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy. 设M(x0,y0)为区域D上一个点,问h(x,y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若
admin
2022-07-21
70
问题
已知有一座小山,取它的底面所在的平面为坐标面xOy,其底部所占的区域为D={(x,y)|x
2
+y
2
-xy≤75),小山的高度函数为h(x,y)=75-x
2
-y
2
+xy.
设M(x
0
,y
0
)为区域D上一个点,问h(x,y)在该点处沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x
0
,y
0
),试写出的表达式;
现欲利用此小山开展攀岸活动,为此需要在山脚下找一个坡度最大的点作为攀登起点,也就是,要在D的边界曲线上找出(1)中g(x,y)的最大值点,试求攀登起点的位置.
选项
答案
(1)由梯度的几何意义知,h(x,y)在点M(x
0
,y
0
)沿梯度 gradh(x,y)[*]=(y
0
-2x
0
,x
0
-2y
0
) 方向的方向导数最大,方向导数的最大值为该梯度的模,所以 g(x
0
,y
0
)=[*] (2)令f(x,y)=g
2
(x,y)=5x
2
+5y
2
-8xy,由题意知,只需要求f(x,y)在约束条件75-x
2
-y
2
+xy=0下的最大值点. 构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=f(x,y)=5x
2
+5y
2
-8xy+λ(75-x
2
-y
2
+xy) 则 [*] 由上面方程前两个相加得(x+y)(2-λ)=0,从而得y=-x或λ=2. 若λ=2,由第一个方程得y=x代入带三个方程得[*],把y=-x代入第三个方程得x=±5,y=[*]5,故得到四个可能的极值点 M
1
(5,-5),M
2
(-5,5),[*] 故选择作M
1
(5,-5)或M
2
(-5,5)为攀登起点.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FCR4777K
0
考研数学三
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