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设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数s(x)满足 s"一2xs’一4s=0,s(0)=0,s’(0)=1。 (Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…; (Ⅱ)求s(x)的表达式。
设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数s(x)满足 s"一2xs’一4s=0,s(0)=0,s’(0)=1。 (Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…; (Ⅱ)求s(x)的表达式。
admin
2018-05-25
59
问题
设幂级数
a
n
x
n
在(一∞,+∞)内收敛,其和函数s(x)满足
s"一2xs’一4s=0,s(0)=0,s’(0)=1。
(Ⅰ)证明:a
n+2
=
a
n
,n=1,2,…;
(Ⅱ)求s(x)的表达式。
选项
答案
(Ⅰ)对幂级数的和函数s(x)=[*]∑a
n
x
n
求一、二阶导数,得 s’=[*]n(n一1)a
n
x
n—2
, 分别将其代入已知方程,整理得 [*](n+1)(n+2)a
n
x
n
一[*]4a
n
x
n
=0, 即(2a
2
—4a
0
)x
0
+[*][(n+1)(n+2)a
n+2
一2na
n
一4a
n
]x
n
=0。 由于上式对任意的x均成立,则有2a
2
—4a
0
=0及(n+1)(n+2)a
n+2
一2(n+2)a
n
=0, 于是得 a
n+2
=[*]a
n
,n=1,2,…。 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论a
n+2
=[*]a
n
,n=0,1,2,…,且根据题中条件有 a
0
=s(0)=0.a
1
=s’(0)=1。 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FGg4777K
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考研数学一
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