设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数s(x)满足 s"一2xs’一4s=0,s(0)=0,s’(0)=1。 (Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…; (Ⅱ)求s(x)的表达式。

admin2018-05-25  24

问题 设幂级数anxn在(一∞,+∞)内收敛,其和函数s(x)满足
    s"一2xs’一4s=0,s(0)=0,s’(0)=1。
(Ⅰ)证明:an+2=an,n=1,2,…;
(Ⅱ)求s(x)的表达式。

选项

答案(Ⅰ)对幂级数的和函数s(x)=[*]∑anxn求一、二阶导数,得 s’=[*]n(n一1)anxn—2, 分别将其代入已知方程,整理得 [*](n+1)(n+2)anxn一[*]4anxn=0, 即(2a2—4a0)x0+[*][(n+1)(n+2)an+2一2nan一4an]xn=0。 由于上式对任意的x均成立,则有2a2—4a0=0及(n+1)(n+2)an+2一2(n+2)an=0, 于是得 an+2=[*]an,n=1,2,…。 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论an+2=[*]an,n=0,1,2,…,且根据题中条件有 a0=s(0)=0.a1=s’(0)=1。 [*]

解析
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