设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2016-04-14 34

问题设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量，α₁≠0，满足Aα₁一2α₁，Aα₂一α₁+2α₂，Aα₃一α₂+2α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设条件，得 (A－2E)α₁=0，(A－2E)α₂=α₁，(A－2E)α₃=α₂．对任意常数k₁，k₂，k₃，令 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0．① ①式两边左乘A～2E，得k₂α₁+k₃α₂=0；② ②式两边左乘A一2E，得k₃α₁=0．因α₁≠0，故k₃=0，代回②式，得k₂=0，代回①式得k₁=0．故k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0[*]k₁=k₂=k₃=0，得证α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (A－2E)(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 故A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 因α₁，α₂，α₃线性无关，故C=(α₁，α₂，α₃)是可逆矩阵，则 C^－1AC=B，即A～B．又B有λ₁=λ₂=λ₃=2，是三重特征值，但 [*] 由相似关系的传递性知，A[*]A，即A不能相似于对角矩阵．

解析

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考研数学一

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设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

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设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0xtf(t2一x2)dt，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)。

设数列｛xn｝满足xn+1=，0≤x1＜3，n=1，2，…．证明xn存在，并求此极限．

设向量＝(1,1，﹣1）T是A＝的一个特征向量证明：A的任一特征向量都能由a线性表示

设A，B均为4阶矩阵，它们的伴随矩阵分别为A与B，且r(A)＝3，r(B)＝4，则方程组(AB)＝0基础解的个数为()

设线性无关的函数y1，y2，y3都是非齐次线性微分方程y’’＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2为任意常数，则该方程的通解为()

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

计算I=∫Leydx-(cosy-xey)dy，其中L是由点A(-1，1)沿曲线y=x2到点O(0，0)，再沿直线到点B(2，0)，再沿圆弧y=到点C(0，2)的路径．

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健康父母产下一个视网膜母细胞瘤的孩子，则其余子女患此病的风险大约是

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