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设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1一2α1,Aα2一α1+2α2,Aα3一α2+2α3. (Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是3维列向量,α1≠0,满足Aα1一2α1,Aα2一α1+2α2,Aα3一α2+2α3. (Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
admin
2016-04-14
55
问题
设A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是3维列向量,α
1
≠0,满足Aα
1
一2α
1
,Aα
2
一α
1
+2α
2
,Aα
3
一α
2
+2α
3
.
(Ⅰ)证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件,得 (A-2E)α
1
=0,(A-2E)α
2
=α
1
,(A-2E)α
3
=α
2
. 对任意常数k
1
,k
2
,k
3
,令 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0.① ①式两边左乘A~2E,得k
2
α
1
+k
3
α
2
=0;② ②式两边左乘A一2E,得k
3
α
1
=0. 因α
1
≠0,故k
3
=0,代回②式,得k
2
=0,代回①式得k
1
=0. 故k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0[*]k
1
=k
2
=k
3
=0, 得证α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (A-2E)(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 故A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故C=(α
1
,α
2
,α
3
)是可逆矩阵,则 C
-1
AC=B,即A~B. 又B有λ
1
=λ
2
=λ
3
=2,是三重特征值,但 [*] 由相似关系的传递性知,A[*]A,即A不能相似于对角矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/suw4777K
0
考研数学一
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