设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2016-04-14 50

问题设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量，α₁≠0，满足Aα₁一2α₁，Aα₂一α₁+2α₂，Aα₃一α₂+2α₃．
(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设条件，得 (A－2E)α₁=0，(A－2E)α₂=α₁，(A－2E)α₃=α₂．对任意常数k₁，k₂，k₃，令 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0．① ①式两边左乘A～2E，得k₂α₁+k₃α₂=0；② ②式两边左乘A一2E，得k₃α₁=0．因α₁≠0，故k₃=0，代回②式，得k₂=0，代回①式得k₁=0．故k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0[*]k₁=k₂=k₃=0，得证α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (A－2E)(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 故A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*] 因α₁，α₂，α₃线性无关，故C=(α₁，α₂，α₃)是可逆矩阵，则 C^－1AC=B，即A～B．又B有λ₁=λ₂=λ₃=2，是三重特征值，但 [*] 由相似关系的传递性知，A[*]A，即A不能相似于对角矩阵．

解析

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