2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3． (Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2016-04-14  59
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1一2α1，Aα2一α1+2α2，Aα3一α2+2α3．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)A能否相似于对角矩阵，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)由题设条件，得 (A－2E)α1=0，(A－2E)α2=α1，(A－2E)α3=α2． 对任意常数k1，k2，k3，令 k1α1+k2α2+k3α3=0．① ①式两边左乘A～2E，得k2α1+k3α2=0；② ②式两边左乘A一2E，得k3α1=0． 因α1≠0，故k3=0，代回②式，得k2=0，代回①式得k1=0． 故k1α1+k2α2+k3α3=0[*]k1=k2=k3=0， 得证α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (A－2E)(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)[*] 故A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)[*] 因α1，α2，α3线性无关，故C=(α1，α2，α3)是可逆矩阵，则 C－1AC=B，即A～B． 又B有λ1=λ2=λ3=2，是三重特征值，但 [*] 由相似关系的传递性知，A[*]A，即A不能相似于对角矩阵．
解析
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考研数学一

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