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[2006年] 设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮Lyf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0.
[2006年] 设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮Lyf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0.
admin
2019-04-08
58
问题
[2006年] 设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意t>0都有f(tx,ty)=t
-2
f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮
L
yf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0.
选项
答案
在单连通域D内,对任意有向简单闭曲线L,证明 ∮
L
f(x,y)dx—xf(x,y)dy=0. 即证曲线积分与路径无关的等价条件二成立,其中P=yf(x,y),Q=-xf(x,y).可利用等价条件 [*],即一f(x,y)一xf’
x
(x,y)=f(x,y)+yf’
y
(x,y) ① 证明.如何证明等式①,当然需用题设 f(tx,ty)=t
-2
f(x,y) ② 证之.为此在等式②两边对t求导,得到 xf"(tx,ty)+yf’
y
(tx,ty)=一2t
-3
f(x,y). 注意到等式①两边不含t,对t求导后,在上式中应令t=1,得到 2f(x,y)+xf’
x
(x,y)+yf’
y
(x,y)=0, 因而式①成立,即[*]成立.于是等价条件二成立,即对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有∮
L
yf(x,y)dy-xf(x,y)dy=0.
解析
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考研数学一
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