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已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。
已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。
admin
2018-04-08
51
问题
已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A
2
x线性无关，且满足A
2
x=3Ax－2A
2
x。
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A
2
x)，求三阶矩阵B，使A=PBP
－1
；
(Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。
选项
答案
(Ⅰ)求B，使A=PBP
－1
成立，等式两边右乘P，即AP=PB成立。 由题设知，AP=A(x，Ax，A
2
x)=(Ax，A
2
x，A
3
x)，又A
3
x=3Ax一2A
2
x，故有AP=(Ax，A
2
x，3Ax－2A
2
x)=(x，Ax，A
2
x) [*] 即如果取 [*] 此时的B满足A=PBP
－1
，即为所求。 (Ⅱ)由(Ⅰ)及矩阵相似的定义知，A与B相似。由矩阵相似的性质：若A～B，则f(A)～f(B)，则A+E与B+E也相似。又由相似矩阵的行列式相等，得｜A+E｜=｜B+E｜=[*]=一4。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zlr4777K
0
考研数学一
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