已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

admin2018-04-08 53

问题已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A²x=3Ax－2A²x。
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A²x)，求三阶矩阵B，使A=PBP^－1；
(Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

选项

答案(Ⅰ)求B，使A=PBP^－1成立，等式两边右乘P，即AP=PB成立。由题设知，AP=A(x，Ax，A²x)=(Ax，A²x，A³x)，又A³x=3Ax一2A²x，故有AP=(Ax，A²x，3Ax－2A²x)=(x，Ax，A²x) [*] 即如果取 [*] 此时的B满足A=PBP^－1，即为所求。 (Ⅱ)由(Ⅰ)及矩阵相似的定义知，A与B相似。由矩阵相似的性质：若A～B，则f(A)～f(B)，则A+E与B+E也相似。又由相似矩阵的行列式相等，得｜A+E｜=｜B+E｜=[*]=一4。

解析

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考研数学一

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已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

考研数学一

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数．记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA一α≠b．

已知对于n阶方阵A，存在自然数忌，使得Ak=0．试证明：矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

设证明：当n≥3时，有An=An-2+A2一E；

矩阵的非零特征值是__________．

设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是__________．

设函数f(r)(r＞0)有二阶连续导数，并设满足求u的一般表达式。

设X为随机变量，若矩阵的特征值全为实数的概率为0．5，则()。

设随机变量X和Y均服从二项分布，且D(X+Y)=1，则X和Y的相关系数ρ=________。

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件()

下列哪种新生的细胞是机化时出现的特征性细胞

患者平素沉默寡言，性格内向，近月余现精神过度抑郁，胸闷太息，纳呆腹胀，泄泻。诊为

下列关于作价出资(入股)土地使用权变更的描述中，正确的有()。

下列属于报价中的风险费用的是(　　)。

甲乙二人合伙开办一饭店，二人轮流掌勺。乙在做菜时，因疏忽大意，误将不能同食的两种食物做成菜，造成顾客食物中毒，则()。

Allaroundtheworld,lawyersgeneratemorehostilitythanthemembersofanyotherprofession—withthepossibleexceptionofjo

WhetheryouarehikingthroughthemagnificentredwoodsofNorthernCalifornia,sleepingunderthebrilliantstarsoftheTexas

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