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  3. 设矩阵 其行列式｜A｜=－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(－1，－1，1)T，求a，b，c和λ0的值。

设矩阵 其行列式｜A｜=－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(－1，－1，1)T，求a，b，c和λ0的值。

admin2018-04-08  39
问题 设矩阵

其行列式｜A｜=－1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(－1，－1，1)T，求a，b，c和λ0的值。
选项
答案根据题设，A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(－1，－1，1)T，根据特征值和特征向量的概念，有A*α=λ0a，把｜A｜=－1代入AA*=｜A｜E中，得AA*=｜A｜E=－E，则AA*α=－Eα=－α。把A*α=λ0α代入，于是AA*α=Aλ0α=λ0Aα，即－α=λ0Aα，也即 [*] 因｜A｜=－1≠0，A的特征值λ≠0，A*的特征值 [*] 故λ0≠0，由(1)，(3)两式得 λ0(－a+1+c)=－λ0(－1+c－a)，两边同除λ0，得－a+1+c=－(－1+c－a)，整理得a=c，代入(1)中，得λ0=1。再把λ0=1代入(2)中得b=－3，又由｜A｜=－1，b=－3以及a=c，有 ｜A｜=[*]=a－3=－1。 故a=c=2，因此a=2，b=－3，c=2，λ0=1。
解析
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考研数学一

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